Vale aqui a importante introdução de que o efeito suspensivo legal não é consequência da interposição do recurso, mas consequência da possibilidade de se interpor o recurso, pois, a simples possibilidade de ataque de uma decisão por um recurso dotado do efeito suspensivo já torna a decisão ineficaz.

Dito isso, a regra para os recursos em matéria cível e trabalhista é que eles não produzem efeito suspensivo, conforme disciplina o código de Processo no art. 995. Estando expresso no referido Código quais os recursos terão o efeito suspensivo.

Agora não tendo o recurso que você pretende interpor efeito suspensivo, como obter tal efeito? No Código de Processo Civil está previsto nos incisos I e II, parágrafo 3º, Art. 1012, duas formas de realizar esse requerimento, nos casos de apelações sem efeito suspensivo legal: 

1- Poderá ser realizado um requerimento, dirigido ao Tribunal, no período entre a interposição da apelação e sua distribuição. Assim, quando distribuído o requerimento, o Julgador (a) que o receber deverá analisar o pedido de efeito suspensivo, podendo deferir ou não. Ressalto que esse Julgador ficará prevento para julgar o recurso. 

2 – Você pode aguardar (quando não houver urgência) o recurso ser distribuído no Tribunal, e então requerer o efeito suspensivo diretamente ao Relator por simples petição.

No caso dos embargos de declaração (Art. 1.026, parágrafo 1º) e agravo de instrumento (Art. 1.019), o requerimento do efeito suspensivo deverá ser feito no corpo do recurso. 

Na justiça do trabalho, nos casos dos Recursos ordinários, é adotado o mesmo procedimento previsto no CPC. Inclusive com previsão regimental expressa em muitos Tribunais, regulamentando o procedimento do pedido de efeito suspensivo. Assim sempre verifique o regimento interno antes de fazer o requerimento. 

Por fim, ressalto que para haver concessão do efeito suspensivo, você deverá demonstrar ao Relator que há probabilidade de provimento do recurso e/ou que existe risco de dano grave ou de difícil reparação.